●IEEE754のとりうる整数の範囲

hnwさんの日記は一見すると平易だが、恐ろしい毒がこっそり忍ばせてある。読者は表向きの平易に書かれたウンチクを楽しみながら、裏の毒を味わうという二重の楽しみを体験することができる。

今日はPHPのround関数に関して前回と違った切り口で紹介してみます。また、コンピュータ上での整数についても少し紹介してみます。

前回の記事「PHPの奇妙なround関数」(id:hnw:20070515)を読んで、小数点が付いた数なんてPHPで触ったことないから関係ないや、なんて考えた方が居るかもしれません。そんな方のために、今回は整数を四捨五入してみます。

[hnwの日記 - round関数で整数を四捨五入してみるより引用]

そして、IEEE64bit浮動小数点数であれば仮数部が52bitありますので、-2の53乗から2の53乗（約9000兆）までの整数は全て正確に表現できます。つまり、今回登場した変数値はどれも見た目通りの整数です*1。

仮数部が52bitあると、どうして2の53乗までの整数が表現できるのか、それを理解するためには、2進浮動小数点数の内部表現についての理解が必要となる。

一般に、２進浮動小数点数は、以下のような内部表現をとる。

± 1.bbbbbbbbbbbb × 2^nnn

1.bbbの部分が仮数部である。仮数部の最上位桁が1固定になっている理由は正規化をしているためである。そして、最上位桁が1と決まってるからには、わざわざメモリ上の1ビットを割り当てる必要がないことから、現実のメモリ上の表現としては省略している。これをケチ表現(economized form)と呼ぶ。すなわち、IEEE754形式の浮動小数点数は、実際には仮数部は53bitあるわけだ。
ここで、仮数部が全て1となる数を検討してみよう。

1.111 ..... × 2^52 = 2^53 - 1

であるので、2^53 - 1までは表現できることがまず分かる。
この数に1を足すと、有効桁数としては54ビットとなるわけだが、末尾が0であるので、

1.0 × 2^53

として正しく表現できる。この数に1を足すと、有効桁数が足らないので表現できない。すなわち、2^53が正確に表現できる整数の上限となる。

このようにして、1 〜 2^53 までは表現できることがわかる。
負の数字については、符号ビットにより対応する。
ゼロについては、浮動小数点数の場合、特別扱いする必要があるのだが、IEEE754の場合は、前に述べた非正規化数の特別な場合(仮数部が全て0)として表現する。

符号なし2進52ビット固定小数点数の場合は、0 〜 2^52 - 1 の範囲の整数を表現できるわけであるが、IEEE754は仮数部のケチ表現などにより見かけの有効数字を桁増しして、2^53までの数値を正確に表現できる。巧妙な手法である。

このように複雑な内容を、hnw氏はサラリと書き流し、読者がワナに掛かるのを待っているのである。
まことに恐ろしい毒と言わざるを得ない。